06-关系范式

基本定义

• 五元组$R(U,D,DOM,F)$

  • $R$：关系模式名

  • $U$：属性集

  • $D$：属性的域

  • $DOM$：$U$到$D$的映射

  • $F$：函数依赖集

• 可省略$D$，$DOM$，变为三元组$R<U,F>$

  • 数据库中$D$和$DOM$是明确的

• 当且仅当$U$上的关系$R$满足$F$时，$r$称为关系模式$R<U,F>$ 的一个关系（合法的关系）

数据依赖

函数依赖

• $(X)\to Y$，$X$函数确定于$Y$，$Y$函数依赖于$X$

  • $X$可以唯一确定$Y$，$Y=f(X)$

  • 不存在$X$的值相同而$Y$的值不同的情况

  • $X$是属性集

• $X \to Y, Y \to X \Rightarrow X \leftrightarrow Y$

• $X \nrightarrow Y$：$Y$不函数依赖于$X$

• $R$中的所有关系都要满足$F$中的所有函数依赖

• 函数依赖是语义范畴的概念

• 平凡/非平凡：$Y$是否是$X$的子集

  • 平凡的函数依赖：$X \to Y$，$Y \subseteq X$

  • 非平凡的函数依赖：$X \to Y$，$Y \not\subseteq X$

• 完全/部分函数依赖：$X$的子集能否唯一确定$Y$

  • 完全函数依赖：$X \to Y$，$\forall Y \subset X$，$Y \nrightarrow Y$，记作$X \xrightarrow{F} Y$

  • 部分函数依赖：$X \to Y$，$\exists Z \subset X$，$Z \to Y$，记作$X \xrightarrow{P} Y$

• 传递依赖：$X \to Y, Y \to Z, Y \nrightarrow X, Z \nsubseteq Y$，记作$X \xrightarrow{传递} Z$

  • 若$X \to Y , Y \to Z, Y \to X$，则$Z$直接依赖于$X$，不算传递函数依赖

• 若 $X$ 和 $Y$ 是 1:1 映射关系，则 $X \to Y$ , $Y \to X$

  • 若 $X$ 和 $Y$ 是 1:N 映射关系，则 $Y \to X$

• 若 $X$ 和 $Y$ 是 N:M 映射关系，则 不存在函数依赖

闭包

• $X^+$：$X$的闭包，$X$能唯一确定的属性集

• 生成方法：递归检查依赖，直到没有新的属性加入为止

多值依赖

• 某个属性同时决定两组不相关的信息，两组信息可以任意组合，产生冗余

• 设$R(U)$是属性集$U$上的一个关系模式。$X,Y,Z$是$U$的子集，并且$Z=U-X-Y$。关系模式$R(U)$中多值依赖 $X\twoheadrightarrow Y$ 成立，当且仅当对$R(U)$的任一关系$r$，给定的一对$(x,z)$值，有一组$Y$的值，这组值仅仅决定于$x$值而与$z$值无关。

• 平凡的多值依赖：$Z=\emptyset$

• 对称性：$X \twoheadrightarrow Y \Rightarrow X \twoheadrightarrow Z,\quad \text{其中 } Z = U - X - Y$

• 传递性：$X \twoheadrightarrow Y,\ Y \twoheadrightarrow Z \Rightarrow X \twoheadrightarrow Z - Y$

• 函数依赖是特例：$X \rightarrow Y \Rightarrow X \twoheadrightarrow Y$

• 并规则：$X \twoheadrightarrow Y,\ X \twoheadrightarrow Z \Rightarrow X \twoheadrightarrow YZ$

• 交规则：$X \twoheadrightarrow Y,\ X \twoheadrightarrow Z \Rightarrow X \twoheadrightarrow Y \cap Z$

• 差规则：$X \twoheadrightarrow Y,\ X \twoheadrightarrow Z \Rightarrow X \twoheadrightarrow Y - Z,\ X \twoheadrightarrow Z - Y$

码

• $K$ 为 $R<U,F>$ 的一个属性集

• 候选码：可唯一确定元组的属性集

  • $K \xrightarrow{F} U$，$K$是$R$的一个候选码（最小超码）

• 超码：在候选码的基础上加其他属性

  • $K \xrightarrow{P} U$，$K$是$R$的一个超码（候选码的超集）

• 若$R$有多个候选码，选一个作为主码

• 主属性：候选码中出现的属性

• 非主属性/非码属性：不包含在任意候选码中的属性

• 全码：整个属性组都是码，缺一不可

• 外码：关系模式中的属性集$K$并非候选码，但$K$在另一个关系模式中是候选码

范式

• 满足某一级别的关系模式的集合

• $1NF \supset 2NF \supset 3NF \supset BCNF \supset 4NF \supset 5NF$

• $R \in nNF$：$R$满足$nNF$的所有条件

• 规范化：低一级范式通过模式分解转换成高一级范式模式的集合

1NF

• 每个分量都是不可分的原子值，不能出现多个项$Y=\{a_1,a_2\}$的情况

• 关系数据库的基本要求

• 缺点

  • 数据冗余 & 更新异常：必须要更改所有的，以免数据不一致

  • 插入异常：插入一个元组时，必须要插入所有的属性值，无法仅插入部分属性值

  • 删除异常：删除某个元组后，可能会丢失仅依赖于该元组的其他信息

• 解决方法：分解成多个关系模式，用规范化理论消除不合适的数据依赖

2NF

• 非主属性必须完全依赖于候选码

• 消除部分依赖

• 表里属性都和候选码相关

• 改善：数据冗余、更新异常（但是仍然存在）

# 满足 1NF 不满足 2NF 的例子
表格 (A, B, C, D)
A -> C
(A, B) -> D
# 解决方案
表格1 (A, C)
A -> C
表格2 (A, B, D)
(A, B) -> D

3NF

• 消除传递依赖

• 关系模式中没有传递依赖，所有非主属性都直接依赖于候选码

• 表里属性都和候选码直接相关

• 改善：插入异常、删除异常（但是仍然存在）

• 若所有属性都是主属性，则满足 3NF

# 满足 2NF 不满足 3NF 的例子
表格 (A, B, C)
A -> B
B -> C
# 解决方案
表格1 (A, B)
A -> B
表格2 (B, C)
B -> C

BCNF

• 除了候选码本身，不允许任何非候选码的属性集参与决定关系中的其他属性

• 所有非主属性都完全依赖于每个候选码

• 所有主属性的完全依赖于每个不包含他的候选码

• 没有任何属性完全函数依赖于非码的属性

• 彻底消除插入异常、删除异常

# 满足 3NF 不满足 BCNF 的例子
C -> B  
(A, B) -> C

4NF 5NF

略。

判断流程

感谢 https://www.bilibili.com/video/av741922043/

1. 求候选码、主属性、非主属性

2. 所有函数依赖的左边都是超码 -> BCNF

3. 左边非超码的函数依赖的右边是主属性 -> 3NF

4. 任意候选码的真子集都无法推出非主属性 -> 2NF

5. 所有属性都是原子值 -> 1NF